L’anàlisi quantitativa dels mercats financers sovint assumeix que els preus o els retorns dels actius segueixen una distribució normal. Aquesta aproximació no és perfecta, però resulta útil en molts contextos. A continuació, expliquem per què la distribució normal s’ha convertit en un dels models bàsics per entendre el moviment dels mercats.
1. El Teorema Central del Límit i la Normalitat dels Retorns
Un dels motius principals per utilitzar la distribució normal és el Teorema Central del Límit (TCL). Aquest teorema estableix que la suma o la mitjana d’un nombre suficientment gran de variables aleatòries independents tendeix a seguir una distribució normal, independentment de la distribució original de les variables.
Això implica que, si els preus dels actius estan influïts per molts factors petits i independents (informació de mercat, decisions d’inversors, soroll aleatori, etc.), els retorns (variacions percentuals del preu) poden aproximar-se a una distribució normal en el curt termini.
2. Facilitats matemàtiques i modelatge
La distribució normal té propietats matemàtiques que faciliten els càlculs estadístics i la presa de decisions financeres:
- Està completament definida per dues variables: la mitjana (μ) i la desviació estàndard (σ).
- Permet càlculs senzills de probabilitats i riscos mitjançant la taula de la normal estàndard.
- Es poden construir models analítics com el Value at Risk (VaR) o el model Black-Scholes per a opcions.
3. Regla del 68-95-99.7% i anàlisi de risc
Quan es modelen els retorns financers amb una distribució normal, es poden establir regles generals per quantificar riscos:
- 68% dels valors estan dins d’una desviació estàndard de la mitjana (volatilitat baixa).
- 95% dins de dues desviacions (esdeveniments més extrems, però relativament comuns).
- 99.7% dins de tres desviacions (esdeveniments rars, com crisis financeres greus).
Aquesta propietat és clau en la gestió de riscos i en la predicció de probabilitats de pèrdues severes.
4. El Moviment Brownia Geomètric i els models financers
Molts models financers assumeixen que els preus segueixen un moviment brownia geomètric (GBM):
$$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$
Aquest model assumeix que els increments percentuals dels preus segueixen una distribució normal, la qual cosa permet derivar solucions elegants per al preu de derivats financers.
5. Conceptes clau en l’estudi de la distribució normal als mercats
5.1 Esperança Matemàtica (μ) i Variància (σ2)
- Esperança Matemàtica (μ): Representa la mitjana dels retorns d’un actiu financer. Indica la tendència central de la distribució dels preus o retorns.
- Variància (σ2): Mesura la dispersió dels retorns al voltant de la mitjana, indicant la volatilitat de l’actiu.
5.2 Desviació Estàndard (σ)
- La desviació estàndard és la arrel quadrada de la variància i s’interpreta directament com la volatilitat.
- En models financers, sovint es treballa amb la volatilitat anualitzada, que és la desviació estàndard dels retorns diaris multiplicada per \(\sqrt{252}\) (per dies de borsa en un any).
5.3 Distribució Normal Estàndard (N(0,1))
- La versió estàndard de la normal té mitjana zero i desviació estàndard u. És clau per treballar amb estadístics tipus Z-score: $$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$ Això permet transformar qualsevol variable normal en una normal estàndard per fer càlculs de probabilitats.
5.4 Valor en Risc (VaR – Value at Risk)
- Basat en la distribució normal, el VaR estima la pèrdua màxima esperada en un horitzó de temps donat per a un nivell de confiança determinat.
- Exemple: un VaR al 5% diari indica la pèrdua que, amb un 95% de probabilitat, no es superarà en un dia de trading.
5.5 Test de Normalitat
- Els retorns financers no sempre segueixen una normal perfecta perquè poden tenir:
- Asimetria (skewness): Si la distribució té més probabilitat a la dreta o esquerra.
- Curtosi (kurtosis): Si té cues més pesades (exemple: més esdeveniments extrems).
- Per testar si els retorns segueixen una normal es poden fer:
- Test de Jarque-Bera.
- Test de Shapiro-Wilk.
- QQ-Plot per veure les desviacions respecte a la normal.
6. Limitacions de la normalitat en els mercats
Encara que la distribució normal és una primera aproximació útil, no sempre captura correctament la realitat dels mercats:
- Els mercats sovint tenen cues més gruixudes del que prediu la normal (més esdeveniments extrems).
- La volatilitat no és constant, fet que viola una de les hipòtesis de la normalitat.
- Hi ha correlacions dinàmiques i efectes de dependència temporal entre els moviments de preus.
Per aquests motius, es fan servir models més sofisticats, com les distribucions de Lévy, la teoria del valor extrem (EVT) i els models heterocedàstics (GARCH).
Conclusió
L’atractiu de la distribució normal en l’estudi dels mercats financers es deu a la seva simplicitat matemàtica i al suport teòric del Teorema Central del Límit. Tot i que no és un model perfecte, continua sent una eina essencial per entendre la volatilitat i el risc. Per capturar millor els fenòmens extrems i les irregularitats del mercat, sovint s’utilitzen models més complexos.
