El análisis cuantitativo de los mercados financieros a menudo asume que los precios o retornos de los activos siguen una distribución normal. Esta aproximación no es perfecta pero resulta útil en muchos contextos. A continuación, explicamos por qué la distribución normal se ha convertido en uno de los modelos básicos para entender el movimiento de los mercados.
1. El Teorema Central del Límite y la Normalidad de los Retornos
Uno de los principales motivos para utilizar la distribución normal es el Teorema Central del Límite (TCL). Este teorema establece que la suma o media de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes tiende a seguir una distribución normal, independientemente de la distribución original de las variables.
Esto implica que si los precios de los activos están influidos por muchos factores pequeños e independientes (información de mercado, decisiones de inversores, ruido aleatorio, etc.), los retornos (variaciones porcentuales del precio) pueden aproximarse a una distribución normal en el corto plazo.
2. Facilidades matemáticas y modelado
La distribución normal tiene propiedades matemáticas que facilitan los cálculos estadísticos y la toma de decisiones financieras:
- Està completamente definida per dos variables: la mediana (μ) i la desviación estándar (σ).
- Permite sencillos cálculos de probabilidades y riesgos mediante la tabla de la normal estándar.
- Se pueden construir modelos analíticos como el Value at Risk (VaR) o el modelo Black-Scholes para opciones.
3. Regla del 68-95-99.7% y análisis de riesgo
Cuando se moldean los retornos financieros con una distribución normal, se pueden establecer reglas generales para cuantificar riesgos:
- 68% de los valores están dentro de una desviación estándar de la media (volatilidad baja).
- 95% dentro de dos desviaciones (acontecimientos más extremos, pero relativamente comunes).
- 99.7% dentro de tres desviaciones (eventos raros, como crisis financieras graves).
Esta propiedad es clave en la gestión de riesgos y en la predicción de probabilidades de severas pérdidas.
4. El Movimiento Brownia Geométrico y los modelos financieros
Muchos modelos financieros asumen que los precios siguen un movimiento brownia geométrico (GBM):
$$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$
Este modelo asume que los incrementos porcentuales de los precios siguen una normal distribución, lo que permite derivar soluciones elegantes para el precio de derivados financieros.
5. Conceptos clave en el estudio de la distribución normal en los mercados
5.1 Esperanza Matemática (μ) i Variancia (σ2)
- Esperanza Matemática (μ): Representa la mitjana dels retorns d’un actiu financer. Indica la tendència central de la distribució dels preus o retorns.
- Variancia (σ2): Mide la dispersión de los retornos en torno a la media, indicando la volatilidad del activo.
5.2 Desviación Estándar (σ)
- La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y se interpreta directamente como la volatilidad.
- En modelos financieros, a menudo se trabaja con la volatilidad anualizada, que es la desviación estándar de los retornos diarios multiplicada por \(\sqrt{252}\) (por días de bolsa en un año).
5.3 Distribución Normal Estándar (N(0,1))
- La versión estándar de la normal tiene media cero y desviación estándar uno. Es clave para trabajar con estadísticos tipos Z-score: $$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$ Esto permite transformar cualquier variable normal en una normal estándar para realizar cálculos de probabilidades.
5.4 Valor en Riesgo (VaR – Value at Risk)
- Basado en la distribución normal, el VaR estima la pérdida máxima esperada en un horizonte de tiempo dado para un determinado nivel de confianza.
- Ejemplo: un VaR al 5% diario indica la pérdida que con un 95% de probabilidad no se superará en un día de trading.
5.5 Test de Normalidad
- Los retornos financieros no siempre siguen una normal perfecta porque pueden tener:
- Asimetría (skewness): Si la distribución tiene mayor probabilidad a la derecha o izquierda.
- Curtosis (kurtosis): Si tiene colas más pesadas (ejemplo: más eventos extremos).
- Para testar si los retornos siguen una normal se pueden realizar:
- Test de Jarque-Bera.
- Test de Shapiro-Wilk.
- QQ-Plot para ver las desviaciones respecto a la normal.
6. Limitaciones de la normalidad en los mercados
Aunque la distribución normal es una primera aproximación útil, no siempre captura correctamente la realidad de los mercados:
- Los mercados a menudo tienen colas más gruesas de lo que predice la normal (más eventos extremos).
- La volatilidad no es constante, lo que viola una de las hipótesis de la normalidad.
- Existen correlaciones dinámicas y efectos de dependencia temporal entre los movimientos de precios.
Por estos motivos, se utilizan modelos más sofisticados, como las distribuciones de Lévy, la teoría del valor extremo (EVT) y los modelos heterocedásticos (GARCH).
Conclusión
El atractivo de la distribución normal en el estudio de los mercados financieros se debe a su simplicidad matemática y al soporte teórico del Teorema Central del Límite. Aunque no es un modelo perfecto, sigue siendo una herramienta esencial para entender la volatilidad y el riesgo. Para capturar mejor los fenómenos extremos y las irregularidades del mercado, a menudo se utilizan modelos más complejos.
